C02_Der Mann, der Komplexität messbar machte — und bewies, dass man sie nicht messen kann

Ross Ashby fand das erste zählbare Maß für Komplexität. Und bewies im selben Werk, dass ein objektives Maß dafür gar nicht existieren kann. Wie geht das zusammen?

Ashbys Varietät

Am Ende des letzten Teils blieb eine Hoffnung übrig. Wenn sich schon keine scharfe Grenze ziehen lässt zwischen kompliziert und komplex, dann möchte man wenigstens eine Zahl — ein Maß, das sagt, wie komplex ein System ist, das man vergleichen und ordnen kann. Und tatsächlich hat einer der Väter der Kybernetik, der Brite Ross Ashby, ein solches Maß gefunden. Es steht bis heute. Das Merkwürdige ist nur: Derselbe Ashby hat im selben Werk bewiesen, dass es eine objektive Komplexität gar nicht geben kann. Der Mann, der Komplexität messbar machte, bestreitet, dass man sie messen kann. Wie das zusammengeht, ist das Rätsel, auf das dieser Teil zuläuft.

Fangen wir mit dem Maß an. Ashbys Begriff heißt Varietät, und wir sind ihm in dieser Serie schon begegnet: Varietät ist die Zahl der unterscheidbaren Zustände, die ein System einnehmen kann. Nicht mehr, nicht weniger. Und das ist der ganze Reiz — es ist das einzige Komplexitätsmaß, das wirklich eine Zahl liefert. Man kann sie hinschreiben, auf ein System kleben, mit einem anderen vergleichen. Erinnern wir uns an das Bild aus dem letzten Teil, die sechs Punkte mit ihren zweiunddreißigtausend möglichen Strukturen? Diese zweiunddreißigtausend sind bereits eine Varietät — die Varietät der Verdrahtung. Fünfzehn mögliche Verbindungen, jede entweder da oder nicht, das sind zwei hoch fünfzehn unterscheidbare Muster. Varietät zählen heißt genau das: unterscheidbare Konfigurationen abzählen. Das Lehrbuchbild hat, ohne es zu sagen, die ganze Zeit Ashby gerechnet.

Und dieses Maß ist mächtig. Es ist das Fundament unter dem Gesetz der erforderlichen Varietät — der Einsicht, dass ein Regler mindestens so viele Zustände braucht wie das, was er beherrschen will. Das ist kein Bild und keine Metapher, das ist ein Gesetz, und es steht nur, weil Varietät zählbar ist. Wenn irgendetwas an der zählenden Sicht funktioniert, dann hier.

Wo die Varietät scheitert

Aber genau als Definition von Komplexität scheitert die Varietät — und zwar an dem, was sie so sauber kann. Sie zählt Zustände. Und damit misst sie Größe, nicht Ordnung. Alle zweiunddreißigtausend Strukturen der sechs Punkte zählen für sie gleich viel. Ein perfekt symmetrischer Ring aus sechs Knoten und ein völlig zufälliges Kabelgewirr sind beide „eine von zweiunddreißigtausend" — die Varietät sieht keinen Unterschied. Sie zählt, wie viele Zustände es gibt, nie, wie geordnet sie sind. Das schärfste Beispiel kennen wir aus der Schachreihe: Ein Schachspiel hat mehr mögliche Verläufe, als das Universum Atome hat, zehn hoch hundertzwanzig — eine astronomische Varietät. Und trotzdem ist Schach nur kompliziert, nicht komplex. Die Varietät kann ein riesiges, aber vollkommen durchschaubares System nicht von einem wirklich komplexen unterscheiden. Sie misst die Größe des Möglichkeitsraums, und Größe ist eben nicht Komplexität.

Die kürzeste Beschreibung

Wenn das Zählen der Zustände die Ordnung verfehlt, dann muss man anders messen. Und es gibt einen zweiten, viel raffinierteren Versuch. Er fragt nicht, wie viele Zustände ein System hat, sondern wie kurz es sich beschreiben lässt. Die Idee: Die Komplexität eines Dings ist die Länge der kürzesten Beschreibung, die es vollständig erzeugt — das kürzeste Programm, das es ausspuckt. Bemerkenswerterweise steckt genau dieser Gedanke schon in Göpferts Lehrbuch: Er schlägt vor, die zur Beschreibung eines Systems nötige Informationsmenge als sein Komplexitätsmaß zu nehmen, und stellt sich dafür eine Maschine vor, die die Beschreibung auf einen langen Papierstreifen schreibt — die Länge des Streifens ist das Maß. Das ist, Jahrzehnte im Voraus, die sogenannte Kolmogorov-Komplexität.

Und dieses Maß scheint das Varietäts-Problem zu lösen. Der geordnete Ring lässt sich in einem Satz beschreiben — „sechs Knoten, jeder mit dem nächsten verbunden, im Kreis" —, seine kürzeste Beschreibung ist kurz. Das zufällige Gewirr dagegen hat keine Regel, keine Abkürzung; man muss jede einzelne Verbindung aufzählen, die Beschreibung ist lang. Endlich ein Maß, das Ordnung von Unordnung trennt, statt bloß zu zählen. Es scheint genau das zu treffen, was die Varietät verfehlt.

Der spiegelverkehrte Fehler

Nur hat es einen Fehler, und er ist fatal — er zeigt in die genau entgegengesetzte Richtung. Fragen wir: Was ist das am schwersten zu beschreibende System überhaupt? Die Antwort ist nicht ein komplexes System. Es ist reiner Zufall. Eine vollkommen zufällige Folge lässt sich durch nichts abkürzen — es gibt kein Muster, keine Regel, man muss sie ganz hinschreiben. Also bekommt weißes Rauschen den höchstmöglichen Wert. Nach diesem Maß wäre das Komplexeste, was es gibt, ein Fernseher ohne Signal, ein Flimmern aus purem Zufall. Aber Rauschen ist nicht komplex, es ist einfach zufällig. Ein Maß, das reinen Zufall für den Gipfel der Komplexität hält, misst nicht Komplexität — es misst Unordnung.

Und damit steht die ganze zählende Sicht mit leeren Händen da, auf eine sehr aufschlussreiche Weise. Die Varietät verwechselt komplex mit groß. Die Kolmogorov-Komplexität verwechselt komplex mit zufällig. Die beiden scheitern an entgegengesetzten Enden — und dazwischen liegt das, was wir eigentlich suchen. Denn ein wirklich komplexes System ist weder das eine noch das andere. Es ist nicht die perfekte Ordnung, die sich in einem Satz zusammenfassen lässt. Und es ist nicht das reine Chaos, das sich gar nicht fassen lässt. Es sitzt in der Mitte — geordnet genug, um Struktur zu haben, unregelmäßig genug, um nicht vorhersagbar zu sein. Genau diese Mitte fällt durch jedes Maß, das nur in eine Richtung zählt.

Ashby gegen Ashby

Und hier kommt Ashby zurück, und mit ihm das Rätsel vom Anfang — und es ist ausgerechnet Göpferts Lehrbuch, das ihn an dieser Stelle im Original hervorholt. Ashby wusste, dass sein eigenes Maß die Sache nicht trifft. Und er zog daraus eine radikale Konsequenz. Komplexität, sagte er, ist überhaupt keine Eigenschaft des Systems — sie liegt im Auge des Betrachters. Sein Bild dafür ist berühmt: Für den Hirnforscher ist ein Gehirn hochkomplex, ein Gewirr aus Fasern und Zellen, dessen Beschreibung endlos wäre. Für einen Metzger ist dasselbe Gehirn simpel — er muss es von etwa dreißig anderen Fleischsorten unterscheiden, das sind rund fünf Bit. Dasselbe Ding, zwei völlig verschiedene Komplexitäten, je nachdem, wer hinsieht. Ashbys Schluss: Komplexität als etwas „im Auge des Betrachters" zu behandeln sei die einzig brauchbare Art, sie zu messen.

Damit hat sich der Kreis auf beunruhigende Weise geschlossen. Man muss sich klarmachen, wer das sagt. Der Mann, der die Varietät erfand, das erste objektive, zählbare Maß der Komplexität, sagt am Ende: Ein objektives Maß gibt es nicht. Ashby zitiert sich selbst gegen sich selbst. Der Vater des Maßes bestreitet das Maß — und das trägt stärker als jedes konstruierte Beispiel. Wie beides zusammengeht — ein präzises Maß und die Behauptung, es messe nichts Objektives —, das ist kein Widerspruch aus Versehen. Es hat eine Auflösung, und sie ist einer der überraschendsten Punkte dieser ganzen Reihe.

Eine andere Frage

Für den Moment genügt eine Einsicht, und sie treibt uns eine Stufe weiter. Zwei Maße haben wir versucht, das Beste, was die zählende Sicht zu bieten hat — und beide scheitern, weil sie dieselbe Frage stellen: Wie viel Komplexität hat ein System? Vielleicht ist das von Anfang an die falsche Frage. Vielleicht ist Komplexität gar keine Menge, die man messen könnte, sondern eine Eigenschaft ganz anderer Art — nicht wie viel, sondern ob das Verhalten eines Systems aus seinen Teilen folgt oder nicht. Das ist keine Frage nach einer Zahl mehr. Es ist eine Frage nach der Natur der Sache. Und sie zieht endlich die Grenze, die uns bisher gefehlt hat.