B06_Wie lang kann eine Schachpartie wirklich werden? — die 50-Züge-Regel, die Dreifachwiederholung und die Grenzen des Spiels

Schach ist endlich — aber das ist keine Selbstverständlichkeit. Endlichkeit wurde eingebaut, mit Absicht, durch ein paar Regeln, die aussehen wie Fußnoten.

Woher die Shannon-Zahl kommt

Im ersten Teil ist eine Zahl gefallen, die alles trägt: ungefähr zehn hoch hundertzwanzig mögliche Schachpartien. Diese Zahl beruht auf einer Annahme, die schnell übergangen wurde — dass eine Partie im Schnitt vierzig Züge pro Seite dauert. Bevor wir fragen, wie lang eine Partie werden kann, rechnen wir kurz nach, wo diese zehn hoch hundertzwanzig überhaupt herkommen. Denn das erklärt schon die halbe Sache.

Eine Partie mit vierzig Zügen pro Seite hat insgesamt achtzig Züge, Weiß und Schwarz zusammen. Und in jeder Stellung hast du im Schnitt etwa dreißig sinnvolle Möglichkeiten. Wie viele verschiedene Partien ergeben sich daraus? Die Antwort bekommt man nicht durchs Addieren, sondern durchs Multiplizieren — und es lohnt sich, kurz zu verstehen, warum. Denk es Schritt für Schritt durch. Nach dem ersten Zug gibt es dreißig mögliche Stellungen. In jeder dieser dreißig gibt es wieder dreißig Antworten — das sind dreißig mal dreißig, also neunhundert mögliche Zwei-Zug-Folgen. Nach drei Zügen sind es schon siebenundzwanzigtausend, nach vier über achthunderttausend. Die Möglichkeiten verzweigen sich wie die Äste eines Baumes: Jeder Zug spaltet jede bestehende Linie in dreißig neue. Und bei einem Baum multipliziert man. Dreißig, achtzig Mal mit sich selbst multipliziert — dreißig hoch achtzig — ergibt ziemlich genau zehn hoch hundertzwanzig. Das ist die Shannon-Zahl. Nicht gezählt, sondern aus der Verzweigung errechnet. Zwei kleine Ergänzungen, wenn du es genau wissen willst: Victor Allis hat diese Rechnung 1994 mit einem etwas höheren Verzweigungsfaktor nachgeschärft — fünfunddreißig statt dreißig — und kam auf zehn hoch hundertdreiundzwanzig, dieselbe Größenordnung. Und dass eine Partie im Schnitt rund vierzig Züge pro Seite dauert, ist keine bloße Annahme geblieben: Datenbanken mit Millionen echter Partien bestätigen genau diesen Schnitt.

Ohne Regeln wäre Schach unendlich

Aber vierzig Züge pro Seite ist nur ein Durchschnitt. Und das wirft eine tiefere Frage auf: Wie lang kann eine Schachpartie eigentlich werden? Gibt es überhaupt eine Grenze — oder könnte eine Partie, rein theoretisch, ewig dauern? Denk kurz darüber nach, und die erste Antwort ist verblüffend: Ja, ohne weitere Regeln wäre Schach unendlich. Stell dir zwei Springer vor, die einfach hin- und herhüpfen, vor, zurück, vor, zurück. Niemand schlägt etwas, kein Bauer bewegt sich, es passiert nichts. Das könnten beide Seiten bis in alle Ewigkeit tun — ein Spiel, das nie endet. Genau deshalb hat Schach Regeln, die das verhindern. Und ohne sie gäbe es keine feste Zahl an Partien, keinen Zermelo-Beweis, gar nichts. Damit Schach ein endliches Spiel ist, muss es künstlich endlich gemacht werden.

Dafür sorgen zwei Regeln, die jeder Spieler kennt, aber kaum jemand ganz durchschaut. Die erste ist die Fünfzig-Züge-Regel, uralt, schon im sechzehnten Jahrhundert eingeführt. Sie sagt: Wenn fünfzig Züge lang — von jeder Seite fünfzig — kein Bauer gezogen und keine Figur geschlagen wird, dann darf ein Spieler auf Remis bestehen. Warum ausgerechnet Bauer und Schlagen? Weil das die einzigen beiden Ereignisse im Schach sind, die sich nicht rückgängig machen lassen. Ein Bauer kann nie zurück. Eine geschlagene Figur kommt nie wieder. Alles andere — Türme, Springer, Damen — kann im Kreis laufen. Solange also nur im Kreis gelaufen wird, tickt eine Uhr, und nach fünfzig Zügen ist Schluss.

Die zweite Regel ist die Dreifachwiederholung. Sie sagt: Taucht dieselbe Stellung dreimal auf dem Brett auf, darf ein Spieler Remis beanspruchen. Und hier muss man genau sein, was „dieselbe Stellung" heißt — nicht nur dieselben Figuren auf denselben Feldern, sondern auch dieselbe Seite am Zug und dieselben Rechte: Rochade noch möglich, en passant noch möglich. Erst wenn all das übereinstimmt, zählt es als Wiederholung.

Das Loch — und wie es gestopft wurde

Und jetzt kommt die Feinheit, die fast alle übersehen. Beide Regeln sind ein Recht, keine Pflicht. Ein Spieler kann auf Remis bestehen — er muss aber nicht. Was heißt das? Wenn zwei Spieler sich einig sind, beide auf ihr Remis-Recht zu verzichten, dann könnte die Partie trotz dieser Regeln weiterlaufen, theoretisch wieder unendlich. Das war ein echtes Loch. Und darum hat der Weltschachbund im Jahr 2014 zwei weitere Regeln nachgelegt, die nicht mehr beansprucht werden müssen, sondern automatisch greifen: Nach fünfundsiebzig stillen Zügen ist die Partie zwangsweise remis, ob die Spieler wollen oder nicht. Und nach fünffacher Wiederholung derselben Stellung ebenso. Erst diese automatischen Regeln machen Schach endgültig, unausweichlich endlich.

Damit lässt sich auch eine naheliegende Idee beerdigen — vielleicht ist sie dir beim Lesen selbst gekommen. Man könnte doch, denkt man, die Wiederholung austricksen: zwei Figuren hin- und herbewegen, dann zu zwei anderen wechseln, die zweimal ziehen, wieder zurück zu den ersten — und so ein Muster bauen, das sich nie exakt dreimal wiederholt. Und tatsächlich: Die Wiederholung kannst du damit eine Weile hinauszögern. Aber es nützt nichts. Denn während du all diese Figuren im Kreis schickst, bewegst du keinen Bauern und schlägst nichts — und damit läuft die Fünfundsiebzig-Züge-Uhr unerbittlich weiter. Nach fünfundsiebzig solchen Zügen ist Schluss, ganz gleich, wie raffiniert du deine Figuren tanzen lässt. Die eine Regel fängt dich, wenn du der anderen ausweichst. Es gibt kein Entkommen.

Die längste mögliche Partie

Und jetzt können wir die eigentliche Frage beantworten: Wie lang ist die längste überhaupt mögliche Partie? Die Logik dahinter ist elegant. Die Uhr wird nur zurückgesetzt, wenn ein Bauer zieht oder eine Figur fällt — das sind die einzigen unumkehrbaren Ereignisse. Um die Partie also so lang wie möglich zu machen, musst du diese Ereignisse so selten wie möglich einsetzen und dazwischen jedes Mal die vollen fünfundsiebzig stillen Züge ausschöpfen. Bleibt die Frage, wie viele solcher Rücksetzer es überhaupt geben kann. Und die sind begrenzt: Jeder Bauer kann nur eine bestimmte Zahl Schritte machen, bevor er am anderen Ende ankommt und sich umwandelt — rückwärts geht er nie. Und geschlagen werden können höchstens dreißig Figuren, alle außer den beiden Königen. Zählt man alle diese unumkehrbaren Ereignisse zusammen, kommt man auf etwa hundertachtzehn mögliche Rücksetzer. Hundertachtzehn mal fünfundsiebzig stille Züge — das ergibt die Grenze: rund achttausendachthundert Züge. Ganz genau sind es achttausendachthundertachtundvierzig volle Züge plus ein letzter Halbzug, denn die Partie endet mitten im Zugpaar. Das ist die längste Schachpartie, die die Regeln überhaupt zulassen — unter der automatischen Fünfundsiebzig-Züge-Regel. Verlässt man sich stattdessen auf die ältere Fünfzig-Züge-Regel und nimmt an, dass beim ersten möglichen Moment Remis beansprucht wird, sind es entsprechend weniger: rund fünftausendneunhundert Züge. So oder so — mehr als hundertmal so lang wie eine gewöhnliche Partie mit ihren vierzig bis sechzig.

Shannons Entscheidung

Und damit noch einmal zurück zu Shannons Zahl. Wenn eine Partie nicht vierzig, sondern fast neuntausend Züge lang sein kann — wie viele mögliche Partien gibt es dann im äußersten Fall? Rechnet man es grob mit derselben Baum-Logik durch — fast neuntausend Züge, jeder mit rund dreißig Möglichkeiten —, landet man in der Größenordnung von zehn hoch siebzehntausend, und je nach Annahme noch weit darüber. Eine Zahl mit zehntausenden von Nullen, gegen die zehn hoch hundertzwanzig verschwindend klein wirkt, so grotesk, dass sie sich mit gar nichts mehr vergleichen lässt, nicht einmal mit dem Universum. Und genau deshalb hat Shannon nicht diese Zahl genommen, sondern die realistische Durchschnittspartie. Sein Punkt war nie, die größtmögliche Zahl zu finden, sondern zu zeigen, dass schon das alltägliche, normale Schach jede Berechnung sprengt. Für den Beweis reicht die kleinere Zahl vollkommen — die größere wäre nur Angeberei. Denn eines ist jetzt klar: Unendlich geht nicht, die Regeln schließen es mathematisch aus. Aber endlich heißt hier: so endlich, dass kein Universum genügt, um es auszurechnen.

Und hier schließt sich der Kreis zu dem, was wir im ersten Teil gesehen haben. Erinnerst du dich an Zermelos Beweis — dass das Ergebnis von Schach bei perfektem Spiel feststeht? Dieser Beweis funktioniert nur, weil Schach endlich ist. Man kann eine Wahrheit nur dann bis zur Grundstellung zurückrechnen, wenn der Spielbaum irgendwo endet. Und was sorgt dafür, dass er endet? Genau diese Regeln — die Fünfzig-, die Fünfundsiebzig-Züge-Regel, die Wiederholung. Die scheinbar langweiligen Remis-Vorschriften, über die kein Mensch nachdenkt, sind in Wahrheit das Fundament, auf dem die ganze Aussage steht: dass Schach entschieden ist. Ohne sie wäre Schach unendlich — und unendliche Spiele haben nicht notwendig eine feste Wahrheit.

Das ist die stille Lehre dieses kleinen Einschubs. Endlichkeit ist bei Schach nichts Selbstverständliches. Sie ist eingebaut, mit Absicht, durch ein paar Regeln, die aussehen wie Fußnoten. Nimm sie weg, und das tiefste Denkspiel der Welt zerfällt in ein sinnloses, ewiges Hin und Her. Lass sie drin, und aus demselben Spiel wird etwas, dessen Wahrheit für alle Zeit feststeht — nur eben zu groß, um sie je aufzuschreiben.